三乗の公式で符号ミス多発？丸暗記を脱却する覚え方と導出の極意
高校数学の定期試験や大学入学共通テスト、二次試験で頻出するのが、基本対称式を用いた変形問題です。2つの文字を入れ替えても値が変わらない「対称式」において、3乗の和は展開公式を変形した形で頻繁に活用されます。
基本となる展開公式 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ から、中央の2項を $3ab(a+b)$ でくくって左辺へ移項すると、次の重要公式が導かれます。
・対称式3乗の変形：$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$
この式の最大の強みは、「和（$a+b$）」と「積（$ab$）」という2つの数値情報だけで $a^3 + b^3$ の値を瞬時に算出できる点にあります。因数分解公式を使って $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ と分解してしまうと、$a^2+b^2$ を別途求める二度手間が発生しますが、この変形を用いれば一本道で解答に辿り着けます。
特に入試で頻出する「$x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求めよ」といった分数絡みの問題では、積が $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ と自動的に消去されるため、$(x+\frac{1}{x})^3 - 3(x+\frac{1}{x})$ という極めてシンプルな計算に落とし込めます。
