円の接線の方程式を完全攻略！3大解法パターンと裏ワザ徹底解説

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ここでは、最も出題頻度が高い「円外の点から引いた接線」の解法手順を具体的な例題で確認します。

【例題】
点 $A(3, 1)$ から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と、その接点の座標を求めよ。

【解法ステップ：接点仮定法】

1. 求める接点の座標を $P(x_1, y_1)$ と置きます。
点 $P$ は円周上の点であるため、次の関係式が成り立ちます。
$x_1^2 + y_1^2 = 5 \quad \cdots ①$

2. 点 $P$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = 5$ です。
この直線が円外の点 $A(3, 1)$ を通るため、座標を代入します。
$3x_1 + y_1 = 5 \implies y_1 = 5 - 3x_1 \quad \cdots ②$

3. ②を①に代入して整理します。
$x_1^2 + (5 - 3x_1)^2 = 5$
$x_1^2 + 25 - 30x_1 + 9x_1^2 = 5$
$10x_1^2 - 30x_1 + 20 = 0$
$x_1^2 - 3x_1 + 2 = 0$
$(x_1 - 1)(x_1 - 2) = 0$

したがって、$x_1 = 1, 2$ が得られます。

4. ②より各 $x_1$ に対応する $y_1$ を求めます。
・$x_1 = 1$ のとき $y_1 = 2 \implies$ 接点 $(1, 2)$、接線の方程式 $x + 2y = 5$
・$x_1 = 2$ のとき $y_1 = -1 \implies$ 接点 $(2, -1)$、接線の方程式 $2x - y = 5$

接点の座標と接線の方程式が同時に求まるため、記述試験でも無駄のない論理展開が可能です。